那些年,哲學家算錯的數學

 JB跟我,或算得上是忘年之交,還有seminar發呆時一起算數學之交。每次遇到太專技的演講,聽了十幾分鐘後開始跟不上準備要睡下去時,我們兩個便不約而同地…開始算數學。藉此假裝自己在寫筆記的意思,沒有其他意思。

有時是我偷看JB在算什麼,然後在旁邊偷偷推導,想要搶先他證出來,有時是他看我在幹嘛,也跟著算。有次,JB不知道為什麼突然想要證明正五邊形與內接的五芒星線段呈黃金比例關係,證了好久都證不出來,我就…在旁邊偷偷證,然後用筆戳他,獲得一種「呵。」的快樂。至於那場seminar的講者講什麼我完全忘記了,我連那場演講的講者是男是女都完完全全地,忘記了。

離開墨爾本後,跟JB以電子郵件這樣極其老派的方式維持著友情,繼續從他那學到各種跟數學有關的小趣事。好比說,許多知名的英國經驗論者不知為什麼,死不相信「理性」推導出來的數學命題,覺得自己的「fu」才對。Hume就曾在 Treatise of Human Knowledge, Part 2, Chapters 1(Of the infinite divisibility of our ideas of space and time)以及Chapter 2 (Of the infinite divisibility of space and time)中說�時間與空間必然是granular的,因此牛頓的calculus of variations錯得離譜,根本荒唐。

不過,更讓我覺得有意思的,大概是Hobbes與「化圓為方」纏鬥不歇的故事。「化圓為方」這個問題問的東西很簡單,就只是問,假設我們有一個圓,我們可不可以找到一個跟這個圓的面積一樣的正方形?這問題說來簡單,證起來…有難度,我自己是無法single-handed證,只大概知道其中幾個證明的關鍵機巧在哪邊。沒聽過化圓為方的朋友,可以�嘗試自己approach看看,或是猜猜看到底圓可不可以化為方。還滿有趣的。

關於這個難題,Hobbes非常非常非常非常堅持圓當然可以畫為方,堅持到一直寄他的證明到Royal Society,要Royal Society的學者們接受他的證明。對於Royal Society來說,這卻是個很棘手的差事。因為…Hobbes是英王查爾斯二世的前數學老師兼友人,一個弄不好,可能會被英王給抄了。所以Royal Society就要一直想辦法有文化有禮貌的說Hobbes先生您錯了,這邊那邊的推導有問題喔!實在是,非常的可憐。

不過,算錯數學的,也不是只有英國經驗論的先烈們,英國觀念論的柏克萊也曾宣稱牛頓跟萊布尼茲的微積分都是錯的、都是沒用的東西!(See, Berkeley, 1734, The Analyst: A discourse addressed to an infidel mathematician.)

這些小故事告訴了我們什麼呢?告訴了我們,就算是大~~~哲學家,也是會有這種自己證不出來(或是證錯),就說別人錯得離譜的無賴行為喔!

我們千萬不可以跟這些人學習喔!(???)

共勉之。

人生的選擇

 我很喜歡Eugenia Cheng。我第一次知道她,是因為朋友告訴我有個在Sheffield的數學家寫了個「證明」去證說,吃scone時,用clotted cream比用whipped cream好[註一],我想說這人也太寶了,還特地用latex排一篇文章出來分享她的證明,實在是太有趣的一個人。後來又發現,她在youtube上有開一個很樸實無華的頻道教數學[註二],剛好我一直想學怎麼處理無限大,便這樣成為她數普的受益者之一。

我很佩服她總是能將抽象的概念講得極其清晰易懂,雖然我偶爾仍須反覆播放影片或是停下來自己慢慢推導,但她的影片總能讓我相信,跟著她一步一步走,我一定能搞懂,這是我過往不曾有過的感受。從小到大我一直都對我的數學能力很沒有信心,是一直到了大學,在心理系開的統計課程上拿了九十幾分後,我才察覺我的數學好像沒那麼差、我好像其實也滿喜歡數學的,但那種恐懼,還是一直隱隱作祟,所以我很崇拜我的諸多數學家朋友們,我覺得他們都是天才,我一輩子都不能像他們一樣,真的是直到看了她的影片,我才知道其實我的恐懼與自卑是來自於我沒有好的啟蒙老師。

感激她拍這些影片寫這些數普之餘,卻仍是有很多複雜的情緒在。Eugenia Cheng專攻的領域叫做範疇論(category theory),數學家朋友告訴我這個領域在數學中的抽象程度很高,要非常聰明的人才有辦法去「想像」這麼抽象的東西到底是什麼,她處理的又是抽象中的抽象的higher-dimensional category theory,真的是號人物。說實在的,我聽完後,還是不知道範疇論在做什麼,只知道這是很抽象很抽象很抽象的領域而已。在youtube另外找了她給的talk,我才真正比較了解到底所謂的「the mathematics of mathematics」是怎麼一回事。她在短短四十分鐘內說明了範疇論主要的關懷外,另外還給了不少生活中極度具體的例子幫助聽眾更加了解她所說的是什麼,淺顯到我覺得國中生也都能夠聽得懂這個一般來說要到數學系碩士班程度才會「聽過」的領域涉及哪些問題。所以我感受很複雜。

Eugenia Cheng介紹Category Theory

我的感受很複雜,因為我能理解為什麼Eugenia Cheng選擇做數學普及,放棄她在Sheffield的終身聘的教職(這真的不是個容易的決定),但還是不免會想,如果她能繼續研究higher dimensional category theory有多好。聽她上BBC訪談[註三],聽得出這真的是她的摯愛。但是一天只有24小時,她得做出選擇。從她在BBC上的訪談直接說數學界的性別問題跟她在Sheffield的不快樂,可以知道她是真的非常的不快樂。快樂與不快樂之間,她也需要做出選擇。她最後選擇了數學普及、離開讓她充滿負面情緒的學界。作為受益於這一切的我,感受真的很複雜。

噢對了,她的中文名字是鄭樂雋,我不知道這是快樂的樂還是音樂的樂。不過她也愛音樂,所以可能沒差吧?希望我自己面對人生的選擇時,也能跟她一樣,選擇快樂。

註一:Cheng, 2013, On the perfect quantity of cream for a scone

https://eugeniacheng.com/wp-content/uploads/2017/02/cheng-cream.pdf

註二:https://www.youtube.com/user/TheMathsters

註三:Eugenia Cheng on the mathematics of mathematics

https://www.bbc.co.uk/programmes/b09nvrcn

後來Eugenia Cheng的wiki上加上了中文名字的發音,原來她的樂雋唸作loh-gene呀!解了這個惑,真是快樂啊!

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減法哲學

最近這幾年台灣流行起了「減法哲學」這種東西,另外一個很常見稱呼則是「斷、捨、離」。簡單說起來就是,把不必要的東西從自己的生活中移走,讓生活的空間更加清爽。嗯,這類的「哲學」書泰半都與居家整理術還有室內裝潢有關。 

根據我自己不準確的統計(其實根本沒有做過統計),一般來說,大眾流行的東西我通常都不大喜歡,減法哲學這種東西,是難得大眾流行,而我也深深認同的。只是看過我的房間的人大概都知道,我個人對於在居家收納上實踐這種減法哲學的興致沒有很高(過於懶惰;書啊論文阿可樂啊餅乾啊,還是亂灑在電腦附近這樣感覺溫馨又方便。我媽曾因此覺得應該訂作一個大餅讓我可以掛在脖子上一邊讀書一邊吃,母愛的光輝真是令人動容啊。)。我比較有興趣的是在我的工作上與教學上實踐這門減法哲學。 

剛離開台灣到國外時,我一直有一種書讀得不夠多的自卑感。我覺得洋人同學們在課堂上之所以可以問出很犀利的問題,一定是因為他們母語是英語(或是語系跟英語相對相近),讀過很多書、念過很多論文。但後來幾次跟同學聊天,我才發現問題根本不是書讀不讀得多,而是讀不讀的對、精不精——我讀過好多他們讀都沒讀過的東西。甚至後來開始出門開研討會,跟與會的學者聊天時,我才發現原來有些我以為是常識的東西,在國外一流名校拿到博士的學者也未必讀過。有次我跟一個從牛津畢業的朋友聊天,講到以前的人不知道其實「晨星」跟「昏星」都是同金星的話題 [註一],這個討論、相關的文章,其實是我在大一時就讀過的,但是對方聽得津津有味,還問我這方面的討論可以多讀一點哪些文章。 

我滿訝異的。因為我覺得,這不是常識嗎?怎麼會有牛津畢業的學者不知道?(類似的景況,也發生在我跟MIT之類的學校出來的學者聊天時。這方面,我覺得跟英國或美國訓練模式的差異,比較沒有關係。這可以另文討論。) 

又過了一陣子,我才領悟到,其實這哪是什麼必須要知道的常識。朋友的領域又不是語言哲學,有什麼必要要知道這些討論?他只要專心在自己的倫理學領域,好好思考他要處理的領域就好了。我以為這是常識,只是我以為。而且,知道這樣程度的討論,也沒能讓我在語言哲學領域中作出貢獻,充其量,它帶給我的就是吃飯喝酒時,可以跟別人閒聊,讓人覺得「哇~你好聰明噢~怎麼什麼都略懂~」而已。 

最近跟另外一個朋友聊天,聊到朋友孩子在國外上小學的狀況,朋友說其實觀察下來,孩子的學校沒有像台灣一般學校那麼在乎「進度」,他們可以一整個學期就演一齣愛麗絲夢遊仙境,也可以兩週時間就寫一個作業,他們在乎的不是塞給小孩子多少資訊,他們在乎的是從中小孩子培養了什麼能力。比方說,花上四天的時間讓孩子瞭解數學圖表的意義。 

這個作業是這樣:老師稍微解釋長條圖、圓餅圖、折線圖後,請小朋友回家做「用水量調查」。小朋友要自己統計,然後想要怎麼好好呈現出統計出來的數據。 

老師設計統計表上的項目有:洗手手幾次、便便沖水幾次、洗澡澡幾次、用洗碗機洗碗幾次、在流理台洗碗幾次、煮開水幾次等等等。另外當然還要有各個項目的耗水量之類的。 

Fig 1. 老師設計的統計表。家裡的大朋友小朋友都要乖乖參與喔!

這些東西小朋友在家裡面統計三天後,最後一天自己要想,要用什麼樣的圖表呈現如各個用水項目使用頻率、佔總耗水量多寡之類的問題。要分析一下家庭用水量的分布狀況,看是大便沖水佔最多比例呢?還是洗碗機洗碗佔最多?之類的。 所以,四天,一份作業。 

Fig 2. 老師設計的問題

老師設計的問題其實也不是只有數學,某意義上來說還跨到了地理、公民(第三問:你家的水是哪邊的蓄水池、井來的?第四問:英國地區一人平均每日使用八十升水,你用的比這個多還是少?)

朋友分享完後問我「我們以前是什麼時候學圖表的?我們是怎麼學的?」我想了想,好像也是小學時有稍微學到,但通常就是長條圖加加減減,圓餅圖的話大概就是什麼睡覺時間佔了餅圖的百分之三十的話,等於睡了幾小時這樣的教學吧。其實認真想,台灣學的又快又多,比起朋友女兒的花四天才弄這樣一個統計表,我們累積的知識可多得多,我們還練習了一天有二十四小時,二十四小時乘以百分之三十的高難度乘法勒!(我覺得朋友的女兒應該還是無法做到我們那麼超群的數學運算能力XD) 

朋友聽完大笑。但我們兩個心裡其實都覺得,這不好笑啊。我們都考過雅思,都知道很多在台灣已經拿到碩士學歷的學生對如何分析雅思的圖表題感到無比挫折,但朋友的女兒才九歲,就在這個實踐斷捨離哲學(?)的教育環境下,學習怎麼使用統計跟利用圖表。 

我們知道,等孩子跟我們一樣到了十八歲時,她大概不會像我們一樣唸書唸到可以把清朝所有年號都在腦袋中轉換成西元紀年(我說真的,我到現在都還知道道光二十二年簽訂南京條約,換算為西元年為1842年,我也還知道大明崇禎十七年是1644年,因為歷史考試會考。),她大概不會像我們一樣,知道美國各大農業帶氣候特色。她的所知道的「資訊」,肯定是會遠遜於我們的,畢竟我們花一天做完的背完的,她所在的教育體制希望她是用四天來深刻理解與體驗。不過,十八歲時的她,分析能力、找尋資料佐證(反駁)自己觀點的能力,大概會比大學畢業時的我們還要來得出色吧。 

我想,台灣教改一直無法成功,很大一方面就是無法真的執行斷捨離吧。每一科的專家都覺得這個重要那個重要,每個都是學生應該知道的常識。弄到最後就變成了,學生被灌輸了很多資訊,卻來不及培養駕馭資訊的能力。但其實,有了駕馭資訊的能力以後,學生自己也能在課堂以外找尋專家學者們覺得重要的資訊啊。 

跟朋友聊天聊到最後,我們歸結(!)出一個結論:「台灣學生雅思寫作普遍寫得很爛是因為小時候沒有在廁所統計大便沖水幾次。」 

補記: 關於到底什麼是常識,我真的越來越搞不懂了。

我有另外一個好朋友,大學時讀牛津,成績好的不得了,好到他的學院給他每週兩次免費吃正式晚宴(請自動帶入哈利波特電影中的吃飯畫面)的特權之外,牛津的All Souls College也曾邀請他參加徵選為All Souls College的院士的考試(這只有各領域成績最好的牛津大學生會受邀,不是你想報名就有人理你),只是學術生涯上的考量讓他不想繼續待在牛津,就跑到the other place了,現在在他自己的專業領域,也是顆閃耀的新星。 

不過,有次我們一起吃飯,他問我「神經跟血管不是同樣的東西嗎?」我吃下的馬鈴薯泥差點噴到他的臉上。真是,好險好險。我當下的反應當然是怎麼會有人連這種常識都不知道,但後來又想想,為什麼一個中世紀語言學家要知道這個?難道他知道這事情就可以自己幫自己開刀嗎?他知道這個比起他花時間學冰島文要對他的人生有幫助嗎? 

又有一次,我跟另一個劍橋的流行病學家朋友在一間餐廳吃飯,餐廳的屋頂是呈現金字塔狀的。我那朋友堅稱屋頂跟地平面的夾角是六十度,我只好用我卓越的(!)高中三角函數知識,在衛生紙上寫算式,(不嚴謹的)證明絕對不可能是六十度。我很厲害對吧?可是人家三角函數很爛還是拿到Pfzer給的全額獎學金,而我人生第一次真的在考試以外的範疇使用三角函數就是證明給Pfzer獎學金得主看屋頂跟地板的夾角不可能六十度…… 

我還是認同,不管是學什麼、做什麼職業,都還是要基礎的常識。但到底什麼東西要列為常識,其實我越來越搞不清楚了。我比較清楚的大概是,囫圇吞棗絕對不是好事。寧缺勿濫。 

最後,感謝朋友幫忙從垃圾桶把小屁孩的作業撿回來,讓我附在這篇說好不要再寫長文結果又變很長的廢文上,跟大家一起思考教育的其他可能。

此外,請讀者留心,朋友的孩子的小學的狀況,不能推論到「英國的教育狀況」,更不能推論到「歐美的教育狀況」,這個推論做得太遠也太粗糙了。這邊分享朋友的孩子的作業,只是想要說明,在英國,有這麼一間小學,他們是這樣教育小孩子的。我要如此強調是因為,只要對英國教育體制整體狀況有稍微了解的人都知道,其實英國的教育體制整體來說也有許多問題。我無意要論述英國教育體制整體來說比台灣好,這不是我的重點。 

註一:因為金星會分別在早上跟下午出現,但古代人以為早上的那顆跟下午的那顆不一樣,所以早上時的金星被叫做晨星,下午時的叫做昏星。哲學家會對這個問題有興趣的原因在於,明明晨星昏星指涉到都是金星,沒有人會質疑「晨星是晨星」是真的 ,可是在面對「晨星是昏星」這樣的命題時,許多人卻不敢直接大聲說沒錯。

對這個議題有興趣的朋友可以自行閱讀Gottlob Frege的On Sense and Reference,欲罷不能的話可以在讀讀Bertrand Russell的On Denoting、Saul Kripke的Naming and Necessity。

教育隨想

教學相長這四個字,講的是教學者與學習者之間的關係——教學者與學習者其實同時也是學習者與教學者。在理想的教學過程中,沒有人是純然的施予,也沒有人是純然的接受。兩者的關係是平等的。「理想的」情境中,該是如此。


在一次校友會的社交活動上,畢業自O校的P博士告訴我,她現在在一家教育智庫工作,主要的工作就是幫助代議士、政府相關官員了解,到底為什麼澳洲政府近年來的教育支出節節高升,但是在國際上的評核表現(如PISA)卻屢屢下降。一向對教育議題感興趣的我,聽到澳洲竟然有專門處理教育議題的智庫,便好奇的問了她具體的研究方法是怎麼做。我想,若有什麼可以移植到台灣的,那我可以快快偷學一下,之後轉傳給在台灣教育部門的朋友。


執行的方法,讓我滿意外的。大體而言就是飛到在國際評核中表現的好的地區,與當地教育官員等人訪談,之後便是撰寫報告,看能否移植到澳洲。P說她這一年來已經飛了多倫多、芬蘭、新加坡等地,接著要到香港跟上海。這樣只能在當地短暫停留幾日就要離開,我很疑惑到底能否真的了解各個體系的優劣,就算與官員以外的一線教師見面,也很難深談吧。


我笑著點點頭,向P說,這是不容易的田野啊,妳考察的不只是教育制度,其實還包含了社會文化跟政治經濟結構。P像是找到知音一樣地抓著我的手說:「沒錯,這是一個體系,妳很難真的抽取出某個元素然後應用在澳洲的教育體制內。」「像新加坡,妳如果知道他們的職場晉用文化、升學制度,妳就不會訝異他們在那些評鑑中表現的好了;他們是用生命在唸書啊。妳們澳洲人希望孩子的放棄出門踢足球、跟家人露營的『學習機會』,換來國際評核上的亮眼學業表現嗎?」其實這話也不用問,我倆都知道答案。而這也是P的挫折來源吧,飛了那麼多地方,花了這麼多經費,到頭來得到的是一個個無法移植的研究報告。


最近隨著在澳洲的生活穩定下來了,終於開始做一直想做的事情——當難民小朋友的免費家教。幾次家教下來,發現先前學校的教育志工社團開的研習課程所談到的問題都是真的,像是有的孩子告訴你我會我會我都會,但其實稍微用點技巧就會發現其實都不會、都不懂。但為什麼都不問呢?自尊心或許是一個,也有可能是學習的動力相對低落,希望家教老師雞婆的幫自己把作業都寫完。要怎麼面對這些過去經歷過許多我沒經歷過的事的學童,要怎麼幫助?研習的時候,練習的對象都是其他志工夥伴,大家都知道彼此只是在演戲而已,跟實際面臨的狀況,還是有些落差。

前幾週我被分配去教一個國中或國小大的學生數學,一坐下來他就拿出他的iPad「課本」,然後打開課本app,滑到某一頁,說:「我需要幫忙,這些是功課。」 在訝異他的課本竟然都放在iPad之餘,我心想,很好,他認為他需要幫忙,不是我自認為他需要幫忙,而且,他知道哪邊是功課,看起來應該是有進入狀況吧?我定眼一看題目,題目問的是下列a、b、c、d的收入要繳多少稅?我愣住了。我怎麼會知道要繳多少稅?題目又沒跟我說稅距跟稅率。為了保持顏面,我問了我的學生,你知道稅是什麼嗎?在他搖搖頭後我開始簡單的解釋為什麼大部分的國家都會課稅、為什麼大部分的時候,收入越多的人被課徵的稅率就會越高,解釋完以後,我問他,前面的課文有沒有解釋,他依舊搖頭。因為我實在不知道要怎麼操作他的iPad課本,我只好請他幫我左滑右滑,讓我用最土法煉鋼的方式找到一點蛛絲馬跡,不然這個功課我真的教不下去,也寫不出半題。還好,一下子就找到相關的表格了。

澳洲2012-2013會計年度的稅距與稅率



這一課叫做財務數學,除了仔細的教學童要怎麼知道自己要繳多少稅以外,還順便帶到了退休金、稅務扣繳、澳洲標準一週工作時(38小時)、加班費這些概念。在當下,我大概已經知道我今天教的這位學童完全不知道這一課在上什麼,雖然他後來看到表格時一直說我知道,但在翻到那一頁之前,他一臉茫然。我慢慢地從頭再說一次比較有能力的人可以多幫助國家照顧其他人一些的概念,然後在指著上頭的表格一個一個說明。然後帶著他想,如果一年只賺了5500元,那是這個表格的哪一個部分、如果賺了38,000呢? 其實教到最後,我還是不大確定他到底懂不懂。


這個題目其實對小孩子來說真的有點難,以38,000的收入來說,那就要先找是哪個級距,找到了之後,要理解那個級距的稅是怎麼打——4650澳幣加上對每一塊超過37,000澳幣的收入徵收30分的稅(用我們比較習慣的說法就是打30%)。這個計算中,除了加減的概念之外,還有「每一塊裡面的三十分要徵做稅收」這個「乘以」「百分比」的概念,思考的過程其實有點複雜。我不知道為什麼他一直想要按除以0.3,我想要解釋什麼是一塊錢裡的三十分時,每每被他打斷說我會我懂我知道,我想,既然他現在按計算機知道要按乘以而不是除以,那就算了吧,等下次有機會再說。


這個教學過程,我不覺得真的是只有我在付出。坦白說,我自己也默默地學到了很多東西——在這之前我只知道澳洲的稅算是重,但我不知道到底有多重,現在我知道了;我不知道澳洲談工作時間的合約,在當地會用award這個字來講、一週標準工時是三十八小時,週末加班的話可以談前N個小時是算1.5倍(time-and-a-half),之後算 2倍(double)。當然,我的家教學生也不知道,我看完課本後重新再跟他解釋週末加班的雙倍薪水概念時,他突然很驚訝地說「真的喔?」我一點也不驚訝地解釋週末是跟家人朋友一起休閒的時間,要多做事情當然要收多點錢如此這般的邏輯等等的。 那天下完課我想了很多。我一直「知道」我自己到現在都「不知道」台灣的稅要怎麼繳,但如果我的小學是在澳洲念,我到高年級時就知道在澳洲的話,稅要怎麼繳了。


回想起以前的小學數學教育,算了好多蛋糕要切幾分之幾、雞兔同籠這些問題,當時的我雖然我知道數學有很多應用,但在課本上,我看不大到多少應用。念到國中高中時,物理課或化學課常常會有老師說這題不會是數學問題等等的,如果是這樣,為什麼不能夠把教材做些綜合,讓學生更了解學習數學與物理或化學的關係呢?就像這樣的「財務數學」章節,一樣都是讓學生練習百分比的概念與四則運算,讓學生從小就在練習中瞭解怎麼計算自己的薪水、該繳多少稅,順道讓學生以後出去打工免於被不肖的雇主偷工時剝削、深化財務觀念,這樣的例題,不是更好嗎?


當然,數學上的推導練習未必都可以做這樣的結合改良,進入到比較高深的層次時,或許我們真的只能與方程式為伍。我想問的是,我們到底期待受過義務教育的學生知道什麼、擁有什麼能力?顯然地,從教材的編排上(至少在我自己在台灣受教育的那個階段),台灣的教育當局不期待受完義務教育的人知道一週工時有多少、要求加班需要附上1.5倍薪水或是2倍薪水並不是不合理的要求、要怎麼繳稅、養老金該怎麼準備。我們期待的是知道怎麼計算梯形面積、平行四邊形周長、證明兩個三角形是否相似,等等等的能力。我不是說這些是沒有意義的知識,只是我有點疑惑,這些知識與生活上最基本需要瞭解的知識比起來,到底孰輕孰重、先後次序該怎麼擺才對。我個人認為,當然澳洲這樣會比較好一些。


但這是教材上的好,到底澳洲的教育現場是怎麼一回事,我並不清楚。那晚我坐在沙發上想,若我像P一樣,來到澳洲短暫訪問,看到這數學教材,我大概會非常的驚艷吧,我應該沒有那樣的機會了解到,實際上是有一些孩子完全沒有聽進去的,我大概也不會這麼深刻地感受到用iPad課本的問題——無法像實體書一樣摺頁、一次輕鬆的翻頁翻到想要對答案的地方、不容易書寫筆記或者是在課本上畫自己看得懂的鬼畫符插畫)。


電子課本的利弊得失早在幾年前就有學者做了不少研究,大體上來說,參與實驗研究的學生中,使用實體書的會比使用電子書的在學習效果上來說會比較好。我看到孩子拿出iPad的驚訝,其實並不全然是因為沒有預期到他會有iPad,而是,在有這麼多實證研究表示實體書在學習上比電子書來的好的今日,澳洲的小學卻是採用電子教科書。 我很難不去想,會不會P來做幾個月的志工,到各級學校了解狀況,對澳洲的教育改革能起到的效果,會不會比起她到處飛來飛去要有效的多?至少,我覺得我已經找到一個澳洲教育經費之所以一直上升,表現卻逐年下降的可能因素了——iPad課本。


向外探尋是了解自己的方式沒錯,但是往內自省,也是挺重要的。尤其是,往內去向「受教者」學習,往往會有意想不到的發現。